私は小学生のときに、家庭教師をつけていたことがあります。
初めての先生は、近所の大学に通う男子学生でしたが、この先生は理系の先生でものすごく難しい算数の宿題を毎回出され、まったく答えられなかった記憶があります。そして、異性の先生ということもあり、まったく話が合わず、一年もたたないうちにやめていただくことになりました。
その点からも、家庭教師との個人契約は、まず相性が大事なのではないかと思います。
すぐに本契約を結ぶのではなく、授業を受ける本人（お子さん）との面談も十分にし、一ヶ月ほどは試用期間にするなど、相性をみることはとても大切だと思います。
そして、次に家庭教師に来ていただいたのは、母の知り合いの方のお嬢さんでした。この先生は同姓ということもあり、すぐに打ち解けて毎回楽しかったのですが、話が弾みすぎてしまい、授業内容という点においては、いささかレベルは低かったかもしれません。
契約する際には、学校の予習復習なのか、受験のためなのかなど、授業の目的はよく相談し、先生の得意科目、使用する教材等も先生からきちんと計画や考えを聞くべきだと思います。